第404章 最貪的選擇
陳舟明顯愣了一下。
這是一上來，就考自己嗎？
從幾何角度研究非交換環？
真要說起來，對於非交換環，陳舟還是有些看法的。
非交換環的一個最常見的例子，或許就是矩陣了。
利用矩陣可以得到一批非交換環的反例。
就好像，若S是包含在環R內的相應維數爲無窮的域。
那麼A=Re_11+Re_12+Se_22，是左Noether與左Artin的。
但不是右Noerther與右Artin，這說明了鏈條件在非交換環中有左與右的差別。
在除環上的所有矩陣的有限直積，構成了所謂的半單環類。
這就是通常所說的Wedderburn-Artin定理。
而在非交換的情形中，一個根就可能分化爲三個根，滿足某類條件左、右理想以及理想的交。
否則可以考慮域上的矩陣代數，它是半局部的，卻可能有無窮多個極大左理想。
對此，陳舟自然也有自己的想法。
這會再去弗裡德曼教授那，應該還來得及。
事實上，非交換環R，所有極大左理想的交，恰恰就是所有極大右理想的交。
自己還能怎麼看？
與其班門弄斧，說着一些淺顯的理解。
阿廷教授見陳舟一直沉默着，沒有說話。
而且他也沒有覺得這樣有什麼錯。
但這主要針對的是交換環，而不是非交換環……
但非交換環的局部環技術，似乎受到了限制。
所打印的內容，也全是關於阿廷教授的課題研究資料。
陳舟聞言，頓時笑道：“教授，您放心。”
陳舟選擇了最貪的選擇。
更加有趣的是，它通過矩陣的對稱結構，自然說明了左半單環等價於右半單環。
人的時間是有限的，人的精力是有限的。
隨即阿廷教授繼續說道：“所以，你入學之後，可以加入和我一起研究代數幾何，也可以自己鑽研數論的問題。”
於是，阿廷說道：“時間上，我就不對你做限制了。我相信作爲一位出色的年輕數學家，你可以安排好自己的時間。”
“但是，你得先回去好好思考一下，如何從幾何角度研究非交換環。”
而是定義爲R/rad(R)是半單環或者是Artin環。
陳舟善意的笑了笑，表示理解。
陳舟：“我想跟着您一邊學習代數幾何的內容，另一邊，也不丟掉解析數論的研究。”
因此就稱其爲非交換環的Jacobson根，也記作rad(R)。
這比那些以往他帶過的博士生要好的多。
主要討論代數簇中的奇異點，以及代數簇在奇異點周圍的性質。
頓了頓，阿廷又笑着補充道：“另外，你的畢業論文，應該也不用我操心吧？”
面對第一次見面的導師，還是這樣的一位大佬。
儘管非交換環中有左與右的區別，但也不乏此類殊途同歸的有趣現象。
便又笑着問了一句：“怎麼了？有什麼想法，可以儘管說出來。”
他也沒避諱這些，而是笑着說道：“年齡大了，總是忍不住懷念過去。”
並且它們良好的繼承了相應的可逆性質。
輕聲笑了笑，阿廷教授說道：“也對，你主要在研究解析數論。或許我應該問你，對於數論研究的看法？”
他們只知道完成自己佈置的任務。
也就是兩手抓，兩手都要要。
值得注意的是，非交換環中對半局部環的定義，並非是指它只有有限個極大左理想。
聽到陳舟的話，阿廷教授愣了一下，但也隨即釋然。
但對於左理想的情形，就必須補充條件“R/rad(R)可交換”。
如何在有限的時間，充分發揮有限的精力，纔是最重要的。
前者簡稱爲大根，它是所有極大理想的交。
阿廷教授先是愣了一下，但很快反應過來。
阿廷教授：“所以，你打算？”
陳舟的腦海裡飛速的閃過關於非交換環的內容。
纔是真正愚蠢的事情。
更不要說，強迫着他改變研究方向了。
陳舟聞言，也是笑了笑。
反而陳舟這種不信口開河的做法，給他留下了不錯的印象。
在這樣的數學大佬面前，不懂裝懂，或者故意賣弄。
從阿廷教授的辦公室離開時，陳舟是帶着一沓厚厚的打印紙離開的。
而在交換代數中，由於局部化技術的廣泛使用，局部環成爲了一個研究的焦點。
他明白了陳舟的意思。
看來阿廷教授，還是蠻好溝通的嘛。
後者簡稱爲素根或小根，它是所有素理想的交。
畢竟，以他現在在解析數論領域，所作出的成績，沒有哪位導師可以忽視。
陳舟看了阿廷教授一眼，最終老實說道：“教授，對於從幾何角度研究非交換環，我沒有什麼看法。”
所以，他回道：“阿廷教授，感謝您的理解，以及坦誠。”
還不如老老實實的說，自己沒啥看法。
“你也知道，我主要的研究領域，是在代數幾何。對於數論的話，或許我的父親更有研究……”
反倒是特別在乎半局部環。
這也是非交換環中第一個精彩的結構定理。
阿廷教授說到這的時候，眼神中明顯多了一絲回憶的味道。
“對此，我是不設限制的。當然，作爲你的導師，有什麼問題，你可以儘管來找我。我會盡力爲你解答。”
對於阿廷教授的話，陳舟還是有一些預料的。
阿廷教授看了看陳舟，又說道：“剛纔那個問題，就是我當前的研究內容。”
事實上，半局部環R的各（雙邊）理想均包含rad(R)，可以化歸爲Artin環R/rad(R)中的極大理想，因此至多隻有有限多個。
可是，自己這只是半吊子的理解，並沒有深入研究過。
陳舟擡手看了眼手錶，早上10點了。
在交換環中，最常見的兩個根分別是Jacobson根與冪零根。
至於從幾何角度研究非交換環，也就是所謂的從局部方面，研究交換代數的方法。
至少，陳舟知道自己要什麼，有他自己的計劃。
就是不知道，這位諾貝爾物理學獎得主，傑爾姆·弗裡德曼教授會給自己安排什麼樣的內容了。
對於物理學的學習和研究，陳舟更多的還是傾向於跟着導師進行。
陳舟拿出新手手冊，翻到地圖那頁，尋找了一番。
便鎖定弗裡德曼教授的辦公室。
(本章完)