引力來自量子信息嗎？
導語
量子力學和引力理論如何自洽地統一起來，一直以來是一個懸而未決的基本問題。最近的一些研究進展表明，來自量子信息理論的一些基本概念，如量子糾纏和量子糾錯，可能會在量子引力的理解中起到基礎性的作用。我認爲，在當代物理學的未解之謎中，量子引力會給我們的認識帶來最爲深刻的變革。
祁曉亮（斯坦福大學）| 作者
廖戴麗| 編輯
自從愛因斯坦提出廣義相對論以來，如何發展出一個跟量子力學相容的引力理論一直是一個未解之謎。既然其他相互作用力都能被納入量子力學的框架下，爲什麼引力就不行呢？雖然我們並不知道答案，但是有一些跡象表明這種困難不僅僅是技術上的，而是有着根本的物理原因。
在1970年代，Bekenstein和Hawking[1-4]指出，爲了使熱力學第二定律成立，黑洞就必須得有熵——否則的話一個物體扔到黑洞裡，熵就憑空減少了。他們推導出了黑洞的熵公式 S=A/4G，也就是說熵正比於黑洞的視界面積A, 而比例係數由牛頓引力常量G決定 （這裡取c= ℏ=1） 。因爲黑洞一旦形成就不會再變成其他物體，根據熱力學第二定律，在同樣大小的一個球形區域裡，其他任何物質態的熵都不能超過黑洞[5,6]。也就是說，一個球形區域裡面能夠容納的最大熵，正比於它的面積。
這是一個非常反常識的結論，因爲熵是一個物質態中微觀自由度的度量。在一個有局域性的理論，比如量子場論裡面，一個區域裡的最大熵一定是正比於體積而不是面積的。因此如果你相信黑洞熵的公式，它馬上告訴我們量子引力理論一定不能是一個局域性的場論，而必定要是一個全新的東西。
1. 全息原理
基於上述關於黑洞熵的結果，’t Hooft[7]和Susskind[5]提出了全息原理，意思是說我們看起來是三維的空間，實際上是二維的。我們可以把全息原理類比於今天的虛擬現實 （VR） 技術。當我們帶上VR眼鏡的時候，手機屏幕上的二維圖像通過我們的視覺系統的加工，讓我們覺得看到了一個三維的虛擬世界。但是這樣一個虛擬世界能夠包含多少信息呢？假設一個一直帶着VR眼鏡的物理學家，對他看到的景象進行仔細的研究，他就會發現裡面包含的信息量 （熵） 總是不會超過手機屏幕上的像素數目——也就是說，熵的上限是正比於面積而不是體積。
這樣的世界圖像讓我想到柏拉圖的洞穴之喻。在全息原理的觀點中，二維屏幕上的圖像纔是洞穴外的真實世界，而我們看到的三維世界則是洞穴中人在牆上看到的影子。有趣的是，影子竟然比現實還高一維度！
什麼樣的量子引力理論才能滿足全息原理呢？因爲必須得放棄定域性，建立這樣的理論是一個很困難的任務。一個重要的突破是1997年Juan Maldacena提出的AdS/CFT對偶[8]，又名全息對偶。AdS代表反德西特空間 （Anti de Sitter space） ，也就是負曲率空間的引力理論，而CFT代表共形場論 （conformal field theory） 。在物理學中，“對偶”的意思是有兩個看起來不一樣的物理理論，但它們的性質卻是一一對應的。這就好像兩種語言中的兩句話，聽起來完全不同，但是按照詞典翻譯一下發現其實是同樣的意思。
在全息對偶中，CFT是定義在一個沒有引力的空間中的量子場論，而與之對偶的AdS空間的引力理論要高出一個空間維度[8-10]。例如如果引力理論定義在三維空間，對偶的量子場論就定義在二維空間。可以認爲量子場論定義在引力理論的空間的漸近邊界上，所以通常把量子場論稱爲邊界理論，而把對偶的引力理論稱之爲體態 （bulk） 理論。這個多出來的空間維度對偶於共形場論中的能量尺度。能量尺度越低的自由度離邊界越遠 （如圖1） 。
圖 1. 全息對偶和RT公式的示意圖。(a) 體態理論是邊界理論的全息影像。體系中的總自由度數目由邊界理論中的“像素”數目決定。演生的空間維度z代表能量尺度，越深入體態內部能量尺度越低，對應的空間尺度也越大。(b) 區域A的糾纏熵決定於極小曲面 γA 的面積。由A向體態內部形變直到面積達到最小值，就得到了 γA。(c) 在有黑洞的時空中，極小曲面 γA 被限制在黑洞視界和邊界之間，因此平行於邊界並且面積正比於A的體積。
如果我們認爲這個對偶是嚴格的，那麼邊界上任何的物理性質都應該在對偶的引力理論中有個對應，反之亦然。在2006年，笠真生 （Shinsei Ryu） 和高柳匡 （Tadashi Takayanagi） [11]提出，邊界上一個區域A的糾纏熵，對偶於引力理論中的一個曲面 γA 的面積。這個曲面是跟A具有同樣邊界的曲面中面積最小的一個 （如圖1b和1c） 。糾纏熵跟曲面面積的關係，跟黑洞熵的公式是一樣的：S= |γA|/4G。這個公式被稱爲RT公式，曲面 γA 被稱爲RT曲面。
在邊界理論中，不同的量子態具有不同的量子糾纏性質，它們也就對應於體態中的不同幾何。例如，共形場論的基態對應於反德西特空間，RT曲面的面積增長比A的體積要慢，這是因爲曲面越是深入體態內部的部分，面積元越小。相比之下，邊界上有限溫度的熱平衡態對應於體態的引力理論中有一個黑洞。在這種情況下，RT曲面就被夾在邊界和黑洞的視界之間，平行於邊界，因此它的面積就正比於邊界區域A的體積。溫度越高，對應的體態的黑洞越大，RT曲面就越接近於邊界，它的面積也越大。這跟一個熱平衡態的熵的性質是吻合的。
RT公式和它的推廣[12,13]暗示着量子糾纏是建造時空幾何的材料[14,15]。爲了尋找滿足全息原理的量子引力理論，第一步是找到量子糾纏性質滿足RT公式的量子態。這對於量子態是一個很不尋常的要求。比如，爲了滿足RT公式，邊界上一個區域A跟另外兩個區域B和C的關聯度 （可以由互信息（mutual information）來量度） 一定要大於AB關聯度和AC關聯度之和[16]。這個條件表明了非局域的關聯，對於一般的量子態並不成立。
2.來自量子糾錯的定域性
如果我們相信全息對偶是嚴格成立的，那麼引力理論中的每個態都唯一對應於邊界量子場論中的一個量子態。作爲一個例子，我們可以考慮體態內部一個位置x附近的一個電子，它的量子波函數侷限在那個點附近，離邊界很遠 （圖2a） 。這個電子的自旋有上下兩個狀態，可以攜帶一個比特的量子信息。按照全息對偶，我們一定可以在邊界上操縱這個電子自旋——因爲所有態都對應這邊界上的態。比如說自旋的z方向分量應該對應於邊界上某個特定的算符，原則上說我們可以在邊界理論裡測量這個算符，從而測量體態裡這個電子的自旋。可是這看起來跟體態的定域性是矛盾的：如果體態理論滿足相對論的話，應該沒有辦法超越光速，那怎麼可能通過在邊界上的操作，來即時操控和邊界有一定距離的自旋呢？
圖 2. 量子糾錯與從邊界操控體態中的量子比特 的對比。(a) 體態中一個點x的一個量子比特不能馬上被邊界上的小區域（例如A）探測到，因爲信號傳播需要時間。但是從邊界上的一個大區域（例如B）就可以直接操縱它。(b) 一個量子糾錯碼的示意圖。一個量子比特被存儲到五個量子比特中。如果其中兩個出錯，信息仍然可以從其他三個中讀出。
在2014年的一篇論文中，Ahmed Almheiri，董希和Daniel Harlow (ADH)[17]對這個悖論給出了一個優美的解決方案。在他們的工作之前，人們已經知道如何在全息對偶中把體態中的局域算符 （比如翻轉一個x點的電子自旋） 對應到邊界上一個子區域中，而不是用到整個邊界。這個技術叫做局部重構 （local reconstruction） [18,19]。運用這個技術，ADH指出，從邊界上即時操控體態的一個電子自旋確實是可能的，但是前提是你必須能夠操控邊界上一個足夠大的區域，例如圖2a中的B區域。如果你只能操控邊界上一個小一些的區域 （例如圖2a中的A） ，那麼你就無法操縱體態中的那個自旋。換言之，對於只能操縱邊界上一個小區域的觀測者來說，體態的自旋是無法操縱的，所以它“看起來”離得很遠。因此在這個世界中，定域性和速度上限——光速——都不是嚴格成立的，而只是適用於能力有限、無法同時操控宇宙中一大塊地方的觀測者。 （我們“正好”就是這樣的觀測者！） 很有趣的是，ADH意識到，上面描述的機制不是新的，正好就是量子信息理論中研究過的量子糾錯碼 （quantum error correction code） 。
量子糾錯的核心機制和經典計算機的糾錯是類似的，就是把量子信息以一種冗餘的方式儲存在一個更大的系統裡，以保證如果系統的一部分出了錯誤，還能從未出錯的剩餘部分中把信息提取出來。我們可以把全息對偶看成是一種量子編碼。在剛纔所講的體態電子自旋的例子中，電子自旋的兩個狀態|↑⟩,|↓⟩被全息對偶對應於邊界上的兩個量子態。這兩個態是對體態中的這個量子比特的編碼 （encoding） 。我們可以把邊界上的量子場論想象成一個量子計算機。因爲邊界上一個小區域的觀測者無法看到或者影響體態中的電子，那也就意味着在量子計算機的這個小區域出了什麼錯誤 （比如一個量子比特丟失了或者發生了退相干） 都不會破壞掉體態自旋中儲存的量子信息。這樣，體態引力理論的定域性實際上來自於全息對偶作爲一個“量子編碼”的量子糾錯性質。這個量子糾錯性質跟RT公式也是密切相關的[20]。粗略地說，RT公式給出的糾纏熵，對於實現量子糾錯性質是一種必要的資源。
3. 張量網絡
基於這個對於定域性的新理解，我們如何進一步取得進展呢？RT公式和量子糾錯所描述的性質，究竟是隻對一些非常特別的理論成立，還是對於很多量子多體系統普遍成立的性質呢？決定這些性質的關鍵要素有哪些？和物理中很多其他問題一樣，如果真實情況太難研究，我們就先構造一些簡化的玩具模型來幫助我們增進理解。
2009年Brian Swingle提出可以用一類稱爲張量網絡 （tensor network） 的模型來闡釋全息對偶和RT公式[21]。在此之前，在凝聚態物理領域，張量網絡被用來描述強關聯體系的多體波函數，已經有很多研究[22-24]。Swingle的工作用到的一類張量網絡是Guifre Vidal提出的“多尺度糾纏重整化模型” （Multiscale entanglement renormalization ansatz, MERA） [24]。張量網絡是一種構造多體波函數的方式。每一個“張量”是由幾個量子比特組成的少體波函數。然後通過把量子比特之間糾纏起來，把這些少體系統“粘合”成一個多體系統。
構建張量網絡的過程很像把計算機聯結成互聯網。當我發送一封電子郵件時，信息不是直接從我的電腦傳到收信人的電腦，而是經過服務器的中繼。在張量網絡中，量子比特通過量子測量被投影到一些糾纏態，這些糾纏態作爲中繼站把更多的量子比特連接成一個複雜的糾纏網絡 （如圖3） 。即使每個張量只是少數幾個量子比特的糾纏態，很多張量連接起來就可以描述複雜得多的多體糾纏結構[25]。
圖 3 張量網絡態和體態量子比特。(a) 張量網絡態的構造方式示意圖。首先製備每個鏈接上的EPR糾纏對，然後在起中繼作用的“服務器”節點S1,S2上做一個糾纏測量，就得到了其餘量子比特ABCD的張量網絡態。(b) 兩個區域A和B具有同樣大小，但是熵的上限不同。因爲有兩個EPR對把A跟圖的其餘部分相連接，A的糾纏熵較大。(c) 體態的一個量子比特通過一個張量網絡“編碼”到邊界上的量子態。
張量網絡跟全息對偶和RT公式聯繫起來是很自然的，因爲張量網絡的糾纏結構取決於它的幾何 （也就是張量之間的連接方式） 。例如圖3b中的張量網絡，描述了一個5個量子比特的態。區域A和區域B都包含兩個量子比特，但是A比B可以有更多的糾纏熵，因爲有更多的量子糾纏對 （Einstein-Poldolsky-Rosen pair） 媒介了A和系統其餘部分之間的糾纏。對任何一個區域而言，它的熵都小於或等於聯結它和其餘區域的糾纏對的數目，乘以每個糾纏對的最大熵logD。這裡D是糾纏對中每個成員的狀態數。如果每個區域的熵都能達到這個幾何允許的最大值，就自然地給出了RT公式，但是不是每個張量網絡都能滿足這個要求。
目前已知的有兩類滿足RT公式的張量網絡，包括穩定子碼（stabilizer code）[26,27]和高維隨機張量網絡[28]。粗略地講，一個隨機張量網絡可以看成是給定網絡幾何的所有張量網絡態中隨機取出來的一個態。我們知道在希爾伯特空間中的一個隨機選取的態幾乎是最大糾纏的[29]。因爲同樣的原因，隨機張量網絡態具有這個網絡的幾何所允許的最高糾纏熵，也就是RT公式給出的熵。在隨機張量網絡態中，體態中的量子算符可以看成是對張量進行一些微擾。張量網絡的隨機性保證了這樣定義的體態量子態在邊界上一個小區域內是無法探測到的，也就是說它具有我們之前說過的量子糾錯性質。
隨機張量網絡給出了一大類可以幫助描述全息對偶的玩具模型。有趣的是，隨機張量網絡的糾纏熵和極小曲面的關係並不侷限於反德西特空間，而是對任何空間都適用。這似乎暗示着當我們考慮更一般的時空中的量子引力時[30-32]，也許隨機張量網絡還是有用的。但是隨機張量網絡態畢竟只是玩具模型，還有很多全息對偶的性質無法用它來刻畫。一個主要的問題是如何描述引力系統的動力學。張量的隨機選取使得研究動力學問題變得很困難。 （在三維時空的情形，張量網絡跟離散化的引力作用量（Regge calculus）可以建立起聯繫[33]。）
4.動力學和混沌
既然我們認爲時空幾何刻畫量子糾纏的結構，那麼時空幾何的動力學——愛因斯坦引力場方程——自然也應該從量子糾纏的動力學中得出來。在一個特殊情況下，即在共形場論的真空態上考慮低能激發的情形，Van Raamsdonk和合作者從全息對偶中推導出了線性化的愛因斯坦方程[34,35]。這個推導背後的原理可以總結爲圖4的三角關係。一方面，RT公式把幾何和糾纏熵聯繫起來。另一方面，共形場論的共形對稱性把糾纏熵和能量聯繫起來了。這樣，幾何和能量就建立了聯繫，這個聯繫正好給出（線性化的）愛因斯坦方程。在遠離真空態的其他幾何上如何推導愛因斯坦方程還不清楚。
圖 4. 糾纏、幾何和能量動量的關係。RT公式把幾何和量子糾纏熵聯繫起來。共形場論的性質把基態附近的量子態的糾纏熵和能量動量漲落聯繫起來。能量動量和幾何之間的聯繫則是愛因斯坦方程。
雖然對於更一般的幾何我們還不知道怎麼推導愛因斯坦方程，但體態的引力動力學的一些特別的方面在邊界上有着有趣的對應。如果我們考慮邊界處於熱平衡態的情況，對應的體態中就有一個黑洞。
考慮圖5中的情況，有兩個粒子a和b在黑洞的視界附近發生散射。粒子b朝邊界運動，而a朝向黑洞。爲了讓b能夠以一定的能量到達邊界，b在視界附近必須有一個高得多的能量。粒子b離視界越近，它跟a散射時的能量越高，散射也就越強烈，另一方面它在散射之後到達邊界的時間也就越晚。從邊界的角度來說，這意味着a和b對應的算符的對易子隨着時間指數增長：
有趣的是，這個指數增長的速率2πT是一個完全由溫度決定的常數。從邊界的角度來看，這樣一個性質告訴我們邊界的動力學是混沌的，因此一個單粒子算符會演化成一個複雜的多體算符[36]，因此跟越來越多的單粒子算符變得不對易。這種對易子的增長可以由非時序關聯函數來刻畫[36-38]。
更進一步，文獻[39]證明了增長速率2πT是所有物理系統中最快的，也就是說，跟引力系統對偶的量子場論不僅是一個混沌的多體系統，而且 （在某種意義上） 是多體系統中混沌程度最高的。近年來，有一個具有“最高混沌度”性質的模型被提出來，成了研究全息對偶的另一個重要的玩具模型，這就是Sachdev-Ye-Kitaev （SYK） 模型[40-42]。
圖 5. 黑洞視界附近的一對粒子的散射。散射振幅隨着b到達邊界的時間指數增長。
這裡描述的算符的複雜度增長也跟前面討論的量子糾錯性質是相關的。當一個粒子掉到黑洞視界附近時，它變得越來越難從邊界上探測到，因爲從邊界的角度來看它變得越來越非局域。從這個意義上來說，正是邊界的混沌動力學保證了體態中的量子信息具有量子糾錯性質，而藏在黑洞視界背後的信息則是被保護得最好的。這就帶來了很多新的問題： （從邊界的角度來看） 粒子掉入黑洞之後撞到奇點的時候發生了什麼？如果我們能在邊界上做任意非局域的測量，我們能獲取已經掉入黑洞視界背後的量子信息嗎？如果可以的話，又如何對體態的時空結構和黑洞視界附近的幾何給出一個自洽的理解呢？這些問題跟各種形式的黑洞信息悖論密切相關，包括近年被提出來的火牆悖論[43]。
5.對量子引力的展望
顯然我們離一個完備的量子引力理論還很遙遠。但是我們已經可以說，近年來這個領域的進展已經深刻地改變了我們對引力和時空的認識。來自量子信息理論的概念，例如量子糾纏和量子糾錯，開始成爲理解時空結構的基礎。量子力學的其他基本性質，例如量子電路的複雜度，也開始和引力理論建立了聯繫[44,45]。未來的目標是更定量地描述時空幾何是如何從量子多體動力學中演生出來的。
如果我們大膽地猜想一下未來的量子引力理論會是什麼樣子，大概會有這樣兩種可能性。一種可能是量子力學是最基本的理論，而引力是從量子力學中演生出來[46]。另一種可能是描述超出反德西特空間的引力需要超越量子力學，引力和量子力學是真正的基本理論的兩種不同的近似。
譯註
最近，我應Nature Physics的邀請，對量子引力方面近年來的研究寫了一個簡單的介紹 [47]。作爲同一個專題在這期雜誌上一起發表的上還有Brian Swingle[48]和Ehud Altman[49]的兩篇概述文章，也是關於量子糾纏、量子混沌的近期發展。非常感謝毛淑德老師的邀請，現在我把這篇文章譯成中文發表在《賽先生天文》上，希望能夠拋磚引玉。在翻譯過程中我對一些部分的表述方式做了一些小改動。也要感謝Nature Physics的編輯李筠向我約稿，並特別爲中文版向大家提供了免註冊的原文鏈接 （點擊“閱讀原文”跳轉） 。另外順便說一下，之前有其他公衆號發表了我的文章的翻譯，但發表前我不知情。
作者簡介
祁曉亮 2007年博士畢業於清華大學高等研究院，2007-2009年在斯坦福大學做博士後研究，2009年起起任教於斯坦福大學。主要研究領域爲拓撲物質態，量子糾纏和量子引力。曾獲得新視野物理獎 （New Horizons in Physics） ，斯洛恩獎 （Sloan Fellowship） 等獎項。
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