想知道爲什麼要發明和使用微積分？沒有它，科技根本玩不轉！

微積分不僅只是數學中一種不可或缺的工具，事實上，它是現代整個科學、工程和技術發展的基礎。它的誕生幫助人們解決了許多自然界的問題，併爲我們提供了一種計算變化和連續現象的強大方法。

▌古代數學的侷限

在古希臘時期，數學主要集中在幾何學方面，當時的人們能夠解決一些靜態的問題，比如計算規則幾何圖形的面積、體積，以及證明幾何定理，但對於像圓或拋物線下的區域，精確的面積計算變得非常困難。

阿基米德在他的著作中探索了這些問題，使用類似“極限”的思想，提出了“窮竭法”來近似計算曲線下的面積。盡他的工作接近了微積分的思想，但限於當時的數學方法不夠完善，無法應對這些複雜的幾何問題。

從那時起，數學家們就渴望找到一種方法來描述變化本身，以便更好地理解世界的運作。

▌17世紀的科學革命：對理解變化的渴望

到17世紀，隨着物理學的飛速發展，尤其是伽利略和開普勒等科學家對天體運動和物體運動的深入研究，數學家們愈發意識到，急需一種新的數學工具來精確描述和計算連續變化的相關問題。

伽利略提出了關於自由落體運動的定律，指出物體在重力作用下以勻加速運動，這意味着物體的速度隨時間不斷變化。同樣，開普勒的行星運動定律表明，行星圍繞太陽的軌跡是橢圓形的，並且其速度在不同位置也是不斷地變化。

這些發現爲數學家們提出了巨大挑戰：如何精確地描述和計算這些變化？

傳統的代數與幾何學主要處理靜態或線性問題，而現實世界中的現象往往是動態的、非線性的，並且涉及複雜的連續變化。這正是微積分誕生的背景。

▌牛頓與萊布尼茲：微積分的雙重發明

在17世紀後期，兩位偉大的數學家，艾薩克·牛頓（Isaac Newton）和戈特弗裡德·萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz），幾乎同時但獨立各自發明瞭微積分。雖然他們的動機和背景不同，但是共同奠定了微積分這一強大工具的理論基礎。

牛頓發明微積分的動機主要是爲了描述物理現象中的變化，特別是關於速度和加速度的瞬時變化問題。通過微積分，他能夠精確地描述物體在力的作用下的運動，尤其是行星的運動軌跡和力的關係。牛頓意識到，運動中的物體在每一時刻的速度和加速度都是變化的，而他發明一種數學工具來描述這種連續變化，這正是微積分的核心。

萊布尼茨則從哲學和數學的角度出發，想要理解宇宙中最微小的變化。他通過研究無窮小量，提出了微積分的符號系統，這套符號正是今天使用的“dx”、“dy”、“∫”等符號。萊布尼茲的符號系統相比牛頓的幾何表達法更加簡潔和普適，也正是這種符號系統奠定了現代微積分的表示基礎。

牛頓和萊布尼茨發明微積分的動機雖然不同，但都試圖解決同一個問題：如何精確地描述和計算變化。而這，正是微積分誕生的根本原因。

▌微分和積分

微積分本質上分爲兩個部分：微分和積分。這兩者是緊密聯繫的，尤其通過微積分基本定理，它們在某些情況下（連續和可微的函數）是互爲反操作。微分用於計算瞬時變化率，而積分則用於累積這些變化。

現在我們知道了微積分的發明背景和它的基本工具，那麼問題來了：爲什麼人們要發明和使用微積分？

解決自然界中的連續變化問題

通過微積分，科學家們得以準確地描述和預測這些現象，推動了物理學、天文學等領域的進步。

計算累積的結果

除了描述瞬時變化，微積分還能夠處理大量的累積效應。例如：

這些累積效應在各個學科中都有廣泛的應用，微積分提供了一種精確而強大的方法來處理這些問題。

現代科學與技術的基礎

在現代，微積分已經成爲了科學、工程、經濟、計算機科學等領域的基礎工具。幾乎所有涉及變化和累積的現象都可以用微積分來建模和分析。例如：

微積分的發明和使用是爲了處理變化和累積的問題。

在世界萬物中，連續變化無處不在，微積分爲我們提供了描述和分析這些現象的數學工具。

微積分的發明不止解決了17世紀科學家們面臨的關鍵問題，還爲現代科學技術的發展奠定了基礎。如今，微積分已經成爲幾乎所有科學、工程、經濟學、計算機科學等領域的重要工具，它幫助我們能夠更好地理解世界，並推動技術不斷前行。