專家點評2021年高考數學北京卷：將勞動教育與數學學科內容有機融合
穩中求進，推動新高考改革致遠前行
2021年高考數學北京卷堅持貫徹落實立德樹人根本任務，實現“教”“學”“考”一體化的目標，形成了“一箇中心，兩個維度，六大素養，四條路徑”的評價體系。即以立德樹人爲中心，以知識與思想、文化與應用爲內容，以數學學科六大素養爲核心，以突出數學本質、精選試題素材、創新設問方式、凸顯問題解決能力爲四條實施路徑。
一箇中心：立德樹人
北京卷命題緊扣時代發展，選擇重大現實事件入題，發揮學科特點，以立德樹人爲命題的宗旨，特別關注了德育、美育和勞動教育。
2021年是中國共產黨百年華誕，第6題以黨旗爲背景，考查等差數列的基礎知識。同時，黨旗寬與長的比值2:3是最接近黃金比的、最簡的相鄰整數之比，體現數學與藝術的完美結合，引導學生去發現美。結合黨旗知識，引導學生學史明理、學史增信，堅定理想信念，擔當時代責任，厚植愛國主義情懷。
第8題以學生綜合實踐活動爲背景，通過自制雨量器，收集雨水，測量降水量，將勞動教育與數學學科內容有機融合。從而引導學生熱愛勞動，崇尚勞動，助力培養德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人。
兩個維度：知識與思想、文化與應用
北京卷突出對主幹知識的考查。如對函數與導數、三角函數、平面解析幾何、立體幾何、統計與概率、數列、其他（不等式、集合、複數、二項式定理、充要條件、向量）這些主幹知識進行重點考查，充分體現了對數學知識考查的基礎性、全面性和綜合性。
北京卷從數學學科整體意義和思想價值的高度立意，有效檢測學生對數學思想方法的掌握程度。如第15題考查數形結合、運動與變化思想，第17題第（Ⅱ）問和第20題第（Ⅱ）問考查了函數與方程的思想，第9題體現的是化歸與轉化思想，第21題考查了歸納與綜合、特殊與一般的思想，第18題考查了或然與必然的思想。
二、關注對數學文化與數學應用的考查
北京卷突出對數學文化和應用的考查，試題關注社會，關注學生髮展，引導學生運用所學數學知識解決簡單實際問題。如第8題以測降雨量爲題材，體現數學的應用價值，以及數學與地理學科的關係。同時該題材也與我國《數書九章》的“天池盆測雨”的背景有關，通過“以史育人”達到“以文化人”的目的。
第18題以新冠病毒的“10合1”與“5合1”核酸檢測技術爲背景，讓學生體會數學知識在大規模排查新冠病毒感染者的實際問題中的應用，使學生體會概率統計知識的應用價值，激發學生學習數學的興趣，養成在日常生活中應用數學知識的習慣。
六大素養：數學學科核心素養
北京卷通過設計現實性和綜合性問題，實現對數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六大素養的綜合考查。
針對數學抽象素養，北京卷設計了至少5道試題。如第10題，考查數列項數的最大值問題，題目中只給定了數列的前n項和以及數列的遞增性，需要學生綜合分析所給條件，要使得項數最大，首項必須儘可能小，遞增的幅度也需儘可能小，進而逐步抽象出等差數列模型。
針對邏輯推理素養，北京卷設計了至少3道試題。如第3題，以函數單調性、函數最值以及充要條件爲載體，考查學生對函數性質的認識以及邏輯推理的能力。又如第21題第（Ⅰ）問，主要考查學生面對新情境的學習能力；第（Ⅱ）問需要學生特殊化三個性質；第（Ⅲ）問需要學生會用形式化的語言去推證一般的結論。
針對直觀想象素養，北京卷設計了至少5道試題。如第13題，考查的是向量的運算。基於向量具有幾何和代數雙重特徵，本題既可以用座標計算，也可以藉助幾何直觀解決。
針對數學運算素養，北京卷設計了至少9道試題。如第12題，以拋物線爲載體，考查拋物線的定義、焦點等知識。本題既可以通過設點的座標、根據兩點間距離公式求解，也可以根據拋物線的定義直接求解。
針對數據分析素養，北京卷設計了第18題。本題以“10合1”爲切入點設計了第（Ⅰ）問。利用“10合1”的檢測方式，如果新冠病毒感染者在同一組，只需檢測20次；如果新冠病毒感染者不在同一組，只需檢測30次。而根據傳統的檢測方法，需要檢測100次。因此，“10合1”的檢測方式效率大幅提高。
針對數學建模素養，北京卷設計了至少3道試題。如第8題的降雨量測量的體積模型。第21題第（Ⅲ）問中歸納、建構的“自變量爲正整數的取整函數”的數列模型。
總之，北京卷通過設計現實性、探究性和綜合性問題，體現對數學素養的重點考查。
四條路徑：課堂、素材、呈現方式、問題解決
一、試題在內容上突出數學本質，迴歸課堂教學
北京卷試題內容緊扣課標和教材，體現數學的本質，不出偏難怪題。選擇題、填空題主要考查教材和課標中的基礎知識和方法。第16題是正弦定理、餘弦定理應用的問題，第17題是立體幾何的位置關係與角度問題，第19題是函數與導數中的切線、單調性與最值問題，第20題是直線與橢圓的位置關係問題，這四道題所考查的都是高中的主幹知識，使用的方法是通性通法。這種考查方式，有利於減少死記硬背和機械刷題的現象，切實減輕學生的學習負擔。
試題符合學生的認知規律以及學生的實際，在問題設計時，通過層層遞進，爲學生的思考搭建臺階。如第12題和第13題都設置兩空，第一空爲第二空適當做鋪墊。第21題第（Ⅰ）問，只要能夠正確理解題意，大部分學生能夠完成；第（Ⅱ）問要把抽象的性質轉化成具體的數值，部分學生能夠完成；第（Ⅲ）問對學生的數學素養提出較高要求。因此，該題的層層設問，爲不同水平的學生搭建了施展才華的舞臺。
二、試題在素材選取上，源於現實世界和學生生活
北京卷在試題素材的選取上，真實、自然、合理，突出對學習能力的考查。如第6題的黨旗五種通用規格，融入建黨百年主題教育的素材；第8題的24小時的降雨量及其所屬等級；第18題的“10合1”與“5合1”新冠病毒核酸檢測方法，把偉大抗疫精神等作爲立德樹人的重要載體，體現數學的應用價值。
北京卷採用多種方式，對試題的形式進行動態調整和適度創新，增強試題的選擇性和開放性。在題型上進行了創新，設計條件或結論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題。如第14題，要求學生根據一點和其關於y軸對稱的點，給出θ 的一個取值，試題答案不唯一。學生需要根據已有的信息，理解三角函數的概念，並用旋轉的思想和y軸對稱的特徵解決問題。該問題考查學生思維的靈活性和多樣性。
與2020年試題相比，2021年的第16題是結構不良問題，在考查學生的選擇性方面又前進了一步，增加了一個不符合要求的條件，需要學生進行判斷和選擇。題目要求學生在三個條件中選擇一個作爲已知，使△ABC存在且唯一確定，其中條件①與已知題設矛盾。條件②與條件③分別給出三角形的周長與面積，兩問設置具有層次性，題目求解方法多樣，考查學生對於基礎知識的理解和運用能力。
北京卷在命題技術和評分量表上進行持續探索，以提升命題的質量。如第15題設計分層賦分試題。這種設計有利於保障試題的區分和考查效果。
四、試題凸顯對問題解決能力的考查，爲學生的可持續發展打下基礎
北京卷的命題，不僅體現人才的選拔功能，還注重價值引領，凸顯對問題解決能力的考查，引導學生去探索，應用數學知識去解決職場與生活中的實際問題。
如第18題，緊密聯繫社會重大問題，具有拓展性。是不是“10合1”總比“5合1”的效率高？在大規模檢測中是不是可以提出更高效的“k合1”方法，比如“100合1”？諸如此類的問題會引發學生持續的探索和研究，從而發展他們的發現與提出問題能力。
第21題以數列爲載體，考查歸納概括、分類討論等數學思想方法，考查數學抽象、邏輯推理等數學素養，有助於引導學生問題解決能力的發展，從而由做題到做事，爲未來進一步學習奠定良好基礎。
2021年是新高考改革的第二年，北京卷繼續保持“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的特點，堅持“立德樹人，服務選拔和引導教學”的命題指導原則，穩中求進，形成了“一箇中心，兩個維度，六大素養，四條路徑”的評價體系，圍繞着強化中心，豐富維度內涵，突出素養，優化路徑，促進中學對“四具備”人才的培養，引導教學在“六個方面”下功夫，助力學生德智體美勞全面發展。